二次函数f(x)=ax^2+bx+c的导函数为f'(x),f'(0)>0,对于任意实数x,都有f(x)>=0

f(x)=ax^2+bx+c，所以f'(x)= 2ax+b，所以f'(0)=b
由f'(0)>0得
b>0 …………①

f(x)对于任意实数x都有f(x)>=0，由二次函数的性质可知，该二次函数开口向上，且判别式小于或等于0，即
a>0 …………②
△=b^2-4ac≤0即ac≥(1/4)b^2 …………③

f(1)= a+b+c，f'(0)=b，所以
f(1)/f'(0)= (a+b+c)/b =1+(a+c)/b
①②③可推得c>0，所以a、b、c均为正数，对上式用均值不等式有
f(1)/f'(0)= (a+b+c)/b =1+(a+c)/b≥1+2√(ac)/b≥1+2√(1/4)b^2/b=2

所以f(1)/f'(0)的最小值为2

根据已知条件可以推出以下不等式
b>0
a>0
b^2<=4ac
则
f(1)/f'(0)=(a+b+c)/b=1+(a+c)/b>=1+2(ac)^(1/2)/b>=2

f'(0)=b>0,f(0)=c>0,a>0,b^2-4ac≤0,b≤2√（ac)≤a+c
f(1)/f'(0)=(a+b+c)/b=1+(a+c)/b≥2